64匹马能否通过50场比赛比出任意两匹马之间的优劣(每场比赛至多8匹马参赛)

这是2009年清华大学自主招生数学试题(理综)。 思考时间,答案在下面(字体是白色的)。 这道题其实考的是归并排序。 首先将马分为8组,每组排一下序,就比了8场。 然后再将这8组合并为4组,两两合并。 比如A和B组合并: 选A组的前4名和4个B组的前4名,比一场,如果从A中的选出的第4名比B中选出的第4名排名高,那么在A中的选出的第4名前和他自己一定是这些马中靠前的,于是把他们排到新的队中,其余马回到原来的位置;否则,同理分析。所以这样比一场可以确定至少4匹马在新的小组中的的位置。 接下来在剩下的马中继续这样做,直到所有马在新的小组中的位置都确定了。 由于每次都可以至少确定4匹马的位置,而且最后还剩8匹马时只需要比一次就可以确定8匹马的位置,所以两个8匹马的有序的小组合并为一个16匹马的有序小组只需要(16-8)/4+1=3次比赛。 所以8个8匹马的有序的小组合并为4个16匹马的有序小组需要4*3=12次比赛。 所以4个16匹马的有序的小组合并为2个32匹马的有序小组需要2*7=14次比赛。 所以2个32匹马的有序的小组合并为1个64匹马的有序小组需要1*15=15次比赛。 所以一共只需比49场就可以了。

请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论

这是2009年清华大学自主招生数学试题(理科)。 思考时间,答案在下面(字体是白色的)。 答案是3 11 19。 首先它是一个解,下面我们证明没有其它解。 设最小的一个数为X,那么数列为X,X+8,X+16。 然后 X mod 3 = X mod 3 X + 8 mod 3 = X+ 2 mod 3 X + 16 mod 3 =X + 1 mod 3 所以无论X为何值,这个数列中都有一个数是3的倍数,又它们都是质数,所以只可能是有一个数是3,那么显然这个问题解决了。

平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1

更新:答案有误,因为答案只证明了当\(n \to \inf\)时,从\(1/n, 2/n, \dots, (n-1)/n\)中平均要取\(e\)个数才能让和超过一,而当\(n \to \inf\)时,\(1/n, 2/n, \dots, (n-1)/n\)并不能和\((0, 1)\)中的实数一一对应。写这个日志的时候才上高中,不知知道可数集不可数集的概念。而且即使把题目改为取有理数,我给出的答案也是不对了。献丑了,哈哈哈。 题目来自Matrix67.com,原文链接http://www.matrix67.com/blog/archives/3507。 Matrix67牛给出了一个用微积分做的解答,当我看到这个题目的时候,我想到了另一个方法。 思考时间,答案在下面(字体是白色的)。 首先,将题目转化为平均要取多少个1到n-1中的随机数才能让和超过n。显然当n趋于无穷大时,这两个问题是等效的。 然后,解: 设f(x)表示平均取多少次才能大于x. 显然 f(x)=0 x<0      f(x)=1 x=0 对于x>0来说,设之前最后一次取得了i,那么i在1到n-1之间,且取到任意一个数的概率为1/(n-1). 所以 f(x)=sum{(1+f(x-i))/(n-1):1<=i<=n-1}          =1+sum{f(x-i):1<=i<=n-1}/(n-1)          =1+sum{f(t):0<=t<=x-1}/(n-1) (如果0<x<n)          =1+sum{f(t):x-(n-1)<=t<=x-1}/(n-1) (如果x>=n) 对于0<x<n 令 F(x)=sum{f(i):0<=i<=x} 则 f(x)=1+F(x-1)/(n-1)     ……[1] 所以 f(x-1)=1+F(x-2)/(n-1) ……[2] [1]式-[2]式得 f(x)-f(x-1)=(F(x-1)-F(x-2))/(n-1) 所以 (f(x)-f(x-1))*(n-1)=f(x-1) 所以 f(x)=f(x-1)*n/(n-1)           =(n/(n-1))^x*f(0)          =(n/(n-1))^x […]

北京大学2010年自主招生数学试题[第一题]

一道几何题。   第一题: AB为边长为1的正五边形边上任意两点,证明AB最长为(sqrt(5)+1)/2.(注:sqrt(x)=x的平方根) 解: 显然AB在图中的位置应该如图所示. 我们设AB=x,那么AB=CD=BD=x,那么A(-1/2,a),C(1/2,a),B(x/2,0),D(-x/2,0),其他不管了. 然后(1/2+x/2)^2+a^2=x^2 (CD=x)     (1/2-x/2)^2+a^2=1^2 (BC=1) 然后x^2-x+1=0 解方程,x=(sqrt(5)+1)/2(舍负根).

北京大学2009年自主招生数学试题[第四、五题]

两道解不等式。第四题:已知对任意x均有a*cos(x)+b*cos(2x)>=-1恒成立,求a+b的最大值.解:令t=cos(x),-1<=t<=1则a*cos(x)+b*cos(2x)=a*t+b*(2*t^2-1)>=-1  a*t+b*(2*t^2-1)+1>=0令f(t)=a*t+b*(2*t*t-1)+1=2*b*t^2+a*t+1-b则f(t)>=0在[-1,1]恒成立当b=0时,f(t)=a*t+1f(-1)>=0,f(1)>=0,所以-1<=a<=1,这时a+b的最大值为1当b!=0时(注:!=表示不等于)满足f(-1)>=0    f(1)>=0    对称轴x=-a/4b        -a/4b<=-1        或-a/4b>=1        或-1<-a/4b<1且f(-a/4b)>=0恩,解得a+b<=2所以最后a+b的最大值为2.第五题:某次考试共有333名学生做对了1000道题.做对3道及以下为不及格.6道及以上为优秀.问不及格和优秀的人数哪个多?解:假设有x人达优.则x*6<=1000,没有达优的所有人的答对的题目的总数<=1000-x*6所以及格了又没达优的人数*4<=没有达优的所有人的答对的题目的总数所以及格了又没达优的人数<=没有达优的所有人的答对的题目的总数/4又因为没及格的人数=333-x-及格了又没达优的人数所以没及格的人数>=333-x-没有达优的所有人的答对的题目的总数/4>=333-x-(1000-x*6)/4又因为x*6<=1000,所以x<=166,所以83>=x/2,所以83+x/2>=x所以没及格的人数>=83+x/2>=x(当且仅当x=166时取等号)所以当且仅当166做对个0道,1人做对4道,166人做对166道时不及格和优秀的人数一样多,其他情况不及格的多.

北京大学2009年自主招生数学试题[第二、三题]

证明题两道。第二题:已知一无穷等差数列中有3项:13,25,41.求证2009为数列中的一项.解:设a[n]=a[0]+d*n又设a[x]=13,a[y]=25,a[z]=41,x,y,z为整数所以x=(13-a[0])/d    y=(25-a[0])/d    z=(41-a[0])/d又因为y+124*(z-y)=(2009-a[0])/d所以(2009-a[0])/d是整数.所以存在整数t,使得a[t]=2009所以2009为数列中的一项.第三题:是否存在实数x使tan(x)+sqrt(3)与cot(x)+sqrt(3)同为有理数?(注:sqrt(x)=x的平方根)解:令t=tan(x),假设存在t使t+sqrt(3)和1/t+sqrt(3)都是有理数.设有理数p=t+sqrt(3).则1/t+sqrt(3)=1/(p-sqrt(3))+sqrt(3).             =(p+sqrt(3))/(p^2-3)+sqrt(3)             =(p+sqrt(3)*(1+p^2-3))/(p^2-3)由于p为有理数,所以(1+p^2-3)为非零有理数,所以(p+sqrt(3)*(1+p^2-3))/(p^2-3)一定为无理数.即,不存在x使tan(x)+sqrt(3)与cot(x)+sqrt(3)同为有理数.