北京大学2009年自主招生数学试题[第二、三题]

证明题两道。

第二题:
已知一无穷等差数列中有3项:13,25,41.求证2009为数列中的一项.
解:
设a[n]=a[0]+d*n
又设a[x]=13,a[y]=25,a[z]=41,x,y,z为整数
所以x=(13-a[0])/d
    y=(25-a[0])/d
    z=(41-a[0])/d
又因为y+124*(z-y)=(2009-a[0])/d
所以(2009-a[0])/d是整数.
所以存在整数t,使得a[t]=2009
所以2009为数列中的一项.

第三题:
是否存在实数x使tan(x)+sqrt(3)与cot(x)+sqrt(3)同为有理数?(注:sqrt(x)=x的平方根)
解:
令t=tan(x),假设存在t使t+sqrt(3)和1/t+sqrt(3)都是有理数.
设有理数p=t+sqrt(3).
则1/t+sqrt(3)=1/(p-sqrt(3))+sqrt(3).
             =(p+sqrt(3))/(p^2-3)+sqrt(3)
             =(p+sqrt(3)*(1+p^2-3))/(p^2-3)
由于p为有理数,所以(1+p^2-3)为非零有理数,所以(p+sqrt(3)*(1+p^2-3))/(p^2-3)一定为无理数.
即,不存在x使tan(x)+sqrt(3)与cot(x)+sqrt(3)同为有理数.