北京大学2010年自主招生数学试题[第一题]

一道几何题。

 

第一题:
AB为边长为1的正五边形边上任意两点,证明AB最长为(sqrt(5)+1)/2.(注:sqrt(x)=x的平方根)
解:
显然AB在图中的位置应该如图所示.
我们设AB=x,那么AB=CD=BD=x,那么A(-1/2,a),C(1/2,a),B(x/2,0),D(-x/2,0),其他不管了.
然后(1/2+x/2)^2+a^2=x^2 (CD=x)
    (1/2-x/2)^2+a^2=1^2 (BC=1)
然后x^2-x+1=0
解方程,x=(sqrt(5)+1)/2(舍负根).