请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论

这是2009年清华大学自主招生数学试题(理科)。


思考时间,答案在下面(字体是白色的)。


答案是3 11 19。


首先它是一个解,下面我们证明没有其它解。


设最小的一个数为X,那么数列为X,X+8,X+16。


然后


X mod 3 = X mod 3


X + 8 mod 3 = X+ 2 mod 3


X + 16 mod 3 =X + 1 mod 3


所以无论X为何值,这个数列中都有一个数是3的倍数,又它们都是质数,所以只可能是有一个数是3,那么显然这个问题解决了。